Question

設的展開式的各項系數(shù)之和為M，且二項式系數(shù)之和為N，M-N=992，則展開式中x²項的系數(shù)為________．

Answer 1

-250
分析：利用賦值法求出展開式的各項系數(shù)和，據(jù)展開式的二項式系數(shù)和為2ⁿ，列出方程求出n；利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為2求出展開式中x²項的系數(shù)．
解答：令x=1得M=4ⁿ，又N=2ⁿ，
∵M-N=992，
∴4ⁿ-2ⁿ=992，
令2n=k，則k²-k-992=0，
∴k=32，
∴n=5，
∵=，
令，得r=3，
∴x²項系數(shù)為（-1）³•C₅³•5²=-250．
故答案為：-250．
點評：本題考查利用賦值法求展開式的各項系數(shù)和；二項展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)；利用二項展開式的通項公式求展開式的特定項，是容易題．