Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a(a≠0且a≠1)，其前n項的和S_n=(1-a_n).

（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列.

（2）若a=,記b_n=a_nlg|a_n|(n∈N^*),問是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n,都有b_n≥b_m？若存在，求出m的值;若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(1)令n=1，得a₁=a,1分當n≥2時，S_n=

兩式相減，結合a_n=S_n-S_n-1得=a_n-1.

∵a≠0,a≠1,a_n≠0,∴=a.

∴數(shù)列{a_n}是首項和公比均為a的等比數(shù)列.

(2)由（1）知a_n=aⁿ，當a=時，b_n=aⁿlg|aⁿ|=()ⁿnlg.

n為偶數(shù)時,b_n＜0,n為奇數(shù)時，b_n＞0.

∴設n為偶數(shù)，b_2n+2-b_n=()²ⁿ⁺²·(2n+2)lg-()²ⁿ·2n·lg=2·()ⁿlg·().

若b_2n+2＞b_2n,則7-2n＜0,2n＞7,b₈＜b₁₀＜b₁₂＜…，

若b_2n+2＜b_2n,則7-2n＞0,2n＜7,b₈＜b₆＜b₄＜b₂.

∴存在正整數(shù)m=8滿足題設條件.