Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1），g（x）=log₂（2^x-1），若F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零點轉(zhuǎn)化為g（x）-f（x）-m=0在[1，2]上有解，進而求出函數(shù)g（x）-f（x）的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答： 解：若F（x）=g（x）-f（x）-m在[1，2]上有零點，
即F（x）=g（x）-f（x）-m=0在[1，2]上有解，
即-m=f（x）-g（x）=log₂（2^x+1）-log₂（2^x-1），在[1，2]上有解，
設(shè)m（x）=log₂（

2x+1

2x-1

）=log₂（

2x-1+2

2x-1

）=log₂（1+

2

2x-1

），
當x∈[1，2]時，y=1+

2

2x-1

單調(diào)遞減，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知m（x）=log₂（1+

2

2x-1

）單調(diào)遞減，
則m（2）≤m（x）≤m（1），
即log₂

5

3

≤m（x）≤log₂3，
則log₂

5

3

≤-m≤log₂3，
即-log₂3≤m≤-log₂

5

3

故m的取值范圍是[-log₂3，-log₂

5

3

]．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，將方程關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值是解決本題的關(guān)鍵．