Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=，B₁B=BC=4，M、N分別為BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)，S為線段MN的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求DS與平面ABCD所成角的正切值；

(Ⅱ)求直線DS與直線AC₁所成的角．

Answer 1

解：(Ⅰ)過(guò)S作SH⊥BC于H，連DH.

∵面BC₁⊥面ABCD,∴SH⊥面ABCD

∴∠SDH為SD和面ABCD所成的角. 

在正方形BB₁C₁C中，M、N分別為BB₁、B₁C₁中點(diǎn)，S為MN中點(diǎn)，B₁C₁=4,

∴SH=3=CH,

DH=,

在Rt△SHD中，tan∠SHD=. 

(Ⅱ)延長(zhǎng)B₁C₁至E，使B₁C₁=C₁E=4,連DE、ES，

∵C₁EAD,∴四邊形AC₁ES為平行四邊形，∴AC₁∥DE,

∴∠EDS為異面直線DS與AC₁所成的角. 

在△DSE中，DS=則cos∠SDE=.

∴∠SDE=arccos.即直線DS與直線AC₁所成的角為arccos. 

方法二：

(Ⅰ)以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,,0),B(4, ,0),

B₁(4, ,1),C₁(0, ,4),D₁(0,0,4),M(4, ,2),N(2, ,4),S(3, ,3) 

(1)=(3,,0),||=2,

∵DD₁⊥面ABCD，

∴為面ABCD一個(gè)法向量，=（0，0，4）.

cos(,)=,tan(,)=,

∴DS與面ABCD所成的角為-arctan.

正切值為：tan()=. 

(Ⅱ)∵=(-1,,4)

∴cos(,)=

直線DS與AC₁所成的角為arccos.