Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1交于A、B兩點，
（1）若以AB線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求實數(shù)a的值．
（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使A、B兩點關(guān)于直線對稱？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入直線y=ax+1可求y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1），由題意可得，，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入可求a的值．
（2）假定存在這樣的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線對稱．則由，兩式相減得：3（x₁²-x₂²）=y₁²-y₂²，由題意可知，整理可求
解答：解：（1）聯(lián)立方程，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0．…（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么：…（4分）
由于以AB線段為直徑的圓經(jīng)過原點，那么：，即x₁x₂+y₁y₂=0．
所以：x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
∴，
∴-2（a²+1）+2a²+3-a²=0
即a²=1
解得a=±1…（6分）
（2）假定存在這樣的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線對稱．…（8分）
那么：，兩式相減得：3（x₁²-x₂²）=y₁²-y₂²，從而
因為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線對稱，所以
代入（*）式得到：-2=6，矛盾．
也就是說：不存在這樣的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線對稱．…（12分）
點評：本題主要考查了直線與雙曲線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，點關(guān)于直線對稱性質(zhì)的應(yīng)用，屬于綜合性試題