精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

如圖，橢圓 $數(shù)學公式$ 的長軸為A₁A₂，短軸為B₁B₂，將坐標平面沿y軸折成一個二面角，使點A₂在平面B₁A₁B₂上的射影恰好是該橢圓的左焦點，則此二面角的大小為________．

$\text{[math]}$
分析：確定橢圓中的幾何量，確定二面角的平面角，利用點A₂在平面B₁A₁B₂上的射影恰好是該橢圓的左焦點，可求得cos∠A₂OF₁= $\text{[math]}$ ，即可求得結(jié)論．
解答：由題意，橢圓 $\text{[math]}$ 中a=4，c= $\text{[math]}$ ，∠A₂OF₁為二面角的平面角
∵點A₂在平面B₁A₁B₂上的射影恰好是該橢圓的左焦點
∴在直角△A₂OF₁中，cos∠A₂OF₁= $\text{[math]}$
∴∠A₂OF₁= $\text{[math]}$
即二面角的大小為 $\text{[math]}$
故答案為： $\text{[math]}$
點評：本題考查橢圓與立體幾何的綜合，考查面面角，解題的關(guān)鍵是確定二面角的平面角．

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如圖，橢圓的標準方程為

=1(a＞b＞0)，P為橢圓上的一點，且滿足PF₁⊥PF₂，
（1）求三角形PF₁F₂的面積．
（2）若此橢圓長軸為8，離心率為

，求點P的坐標．

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（2012•廈門模擬）某公園內(nèi)有一橢圓形景觀水池，經(jīng)測量知，橢圓長軸長為20米，短軸長為16米．現(xiàn)以橢圓長軸所在直線為x軸，短軸所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示．
（I）為增加景觀效果，擬在水池內(nèi)選定兩點安裝水霧噴射口，要求橢圓上各點到這兩點距離之和都相等，請指出水霧噴射口的位置（用坐標表示），并求橢圓的方程；
（Ⅱ）為增強水池的觀賞性，擬劃出一個以橢圓的長軸頂點A、短軸頂點B及橢圓上某點M構(gòu)成的三角形區(qū)域進行夜景燈光布置．請確定點肘的位置，使此三角形區(qū)域面積最大．

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