Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的兩條漸近線與以橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左焦點為圓心、半徑為$\frac{16}{5}$的圓相切，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，求出圓的圓心坐標，利用圓心到直線的距離等于半徑求解關(guān)系式，即可得到雙曲線的離心率．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左焦點為圓心（-4，0），雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的兩條漸近線為：y=±$\frac{3}{a}$x，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的兩條漸近線與以橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左焦點為圓心、半徑為$\frac{16}{5}$的圓相切，
可得：$\frac{\left|\frac{12}{a}\right|}{\sqrt{1+{（\frac{3}{a}）}^{2}}}=\frac{16}{5}$，
解得a=$\frac{9}{4}$，
c=$\sqrt{\frac{81}{16}+9}$=$\frac{15}{4}$．
雙曲線的離心率為：$\frac{\frac{15}{4}}{\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查圓的方程的應(yīng)用，橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．