Question

小王上樓梯，他跨步的方法是：一步上一個臺階，或一步上兩個臺階．

(1)如果樓梯有三個臺階，則小王上樓有幾種不同的走法？

(2)如果樓梯有四個臺階，則小王上樓有幾種不同的走法？

(3)如果樓梯有五個臺階，則小王上樓有幾種不同的走法？

(4)上述三種情況有什么特定的數(shù)列關(guān)系？如果共有十個臺階，有多少種不同的走法？

Answer 1

答案：
解析：

探究：設(shè)上有n個臺階的樓梯共有an種不同的走法． 　　(1)當(dāng)n＝3時，小王上樓梯的不同方法種數(shù)為a3＝3； 　　(2)當(dāng)n＝4時，小王上樓梯的不同方法種數(shù)為a4＝5； 　　(3)當(dāng)n＝5時，小王上樓梯的不同方法種數(shù)為a5＝8； 　　(4)上述數(shù)量關(guān)系為a5＝a3＋a4．一般地，有an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)． 　　因此當(dāng)n＝10時，由遞推關(guān)系求得a10＝89，即小王上10個臺階的樓梯共有89種方法． 　　結(jié)論：當(dāng)n＝1時，a1＝1，當(dāng)n＝2時，a2＝2，故數(shù)列{an}是從第3項開始的斐波那契數(shù)列．