Question

如圖，在三棱錐O-ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＞OB＞OC，分別經(jīng)過三條棱OA，OB，OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S₁，S₂，S₃，則S₁，S₂，S₃的大小關(guān)系為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)OA=a、OB=b、OC=c，取BC的中點(diǎn)D并連結(jié)OD、AD，由三角形中線的性質(zhì)與錐體體積公式，可得截面OAD就是將三棱錐O-ABC的體積分成兩等分的截面三角形，結(jié)合題意得S_△OAD=S₁．根據(jù)OA、OB、OC兩兩垂直，在Rt△OBC中算出中線OD=

1

2

b2+c2

，從而算出Rt△AOD的面積S₁=

1

4

a2b2+a2c2

．同理求出S₂=

1

4

a2b2+b2c2

，S₃=

1

4

b2c2+a2c2

．最后根據(jù)a＞b＞c＞0比較三個(gè)表達(dá)式的大小，即可得到S₁＞S₂＞S₃．

解答：解：設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，則a＞b＞c＞0．取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)OD、AD，
∵OD是△BCD的BC邊上的中線，
∴S_△OBD=S_△OCD=

1

2

S_△OBC，因此V_A-OBD=V_A-OCD=

1

2

V_A-OBC，
即截面OAD將三棱錐O-ABC的體積分成兩等分，可得S_△OAD=S₁，
∵OA、OB、OC兩兩垂直，∴OA⊥OB，OB⊥OC且OA⊥OC，
∵OB、OC是平面OBC內(nèi)的相交直線，
∴OA⊥平面OBC，結(jié)合OD?平面OBC，得OA⊥OD．
∵Rt△OBC中，OB=b且OC=c，∴斜邊BC=

b2+c2

，得OD=

1

2

BC=

1

2

b2+c2

．
因此S_△OAD=

1

2

OA•OD=

1

4

a2b2+a2c2

，即S₁=

1

4

a2b2+a2c2

．
同理可得S₂=

1

4

a2b2+b2c2

，S₃=

1

4

b2c2+a2c2

．
∵a＞b＞c＞0，
∴a²b²+a²c²＞a²b²+b²c²＞b²c²+a²c²，
可得

1

4

a2b2+a2c2

＞

1

4

a2b2+b2c2

＞

1

4

b2c2+a2c2

，即S₁＞S₂＞S₃．
故答案為：S₁＞S₂＞S₃

點(diǎn)評(píng)：本題給出過同一個(gè)頂點(diǎn)三條棱兩兩垂直的三棱錐，經(jīng)過這三條棱分別作將三棱錐分成兩等分的截面，比較三個(gè)截面的大小．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、錐體的體積公式、勾股定理與解直角三角形和不等式的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．