Question

【題目】定義：對于數(shù)列，如果存在常數(shù)，使對任意正整數(shù)，總有成立，那么我們稱數(shù)列為“﹣擺動數(shù)列”．

（1）設，，，判斷數(shù)列、是否為“﹣擺動數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知“﹣擺動數(shù)列”滿足：，．求常數(shù)的值；

（3）設，，且數(shù)列的前項和為．求證：數(shù)列是“﹣擺動數(shù)列”，并求出常數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列不是“﹣擺動數(shù)列”，數(shù)列是“﹣擺動數(shù)列”，理由見解析；（2）；（3）證明見解析，的取值范圍是

【解析】

(1)根據(jù)定義分析是否存在滿足條件，由此判斷、是否為“擺動數(shù)列”；

(2)根據(jù)定義分析奇數(shù)、偶數(shù)項的情況，再根據(jù)遞推關系構造不等式，從而可求解出的取值范圍；

(3)先分析存在值滿足“擺動數(shù)列”，然后即可分奇偶項討論的取值范圍.

（1）假設數(shù)列是“﹣擺動數(shù)列”，

即存在常數(shù)，總有對任意成立，

不妨取時則，取時則，顯然常數(shù)不存在，

∴數(shù)列不是“﹣擺動數(shù)列”；

由，于是對任意成立，其中．

∴數(shù)列是“﹣擺動數(shù)列”．

（2）由數(shù)列為“﹣擺動數(shù)列”，，

即存在常數(shù)，使對任意正整數(shù)，總有成立；

即有成立．

則，

∴．

同理．

∴，解得即．

同理，解得；即．

綜上．

（3）證明：由，

顯然存在，使對任意正整數(shù)，總有成立，

∴數(shù)列是“﹣擺動數(shù)列”；

當為奇數(shù)時遞減，∴，只要即可，

當為偶數(shù)時遞增，，只要即可，

綜上，的取值范圍是．