Question

17．在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-2sinB），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{B}{2}$-1，cos2B），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，B為銳角，b=2，則△ABC面積S_△ABC的最大值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由條件利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)求得B=$\frac{π}{3}$，再利用余弦定理、基本不等式，求得△ABC面積S_△ABC的最大值

解答 解：由題意可得$\frac{{2cos}^{2}\frac{B}{2}-1}{\sqrt{3}}$=$\frac{cos2B}{-2sinB}$，即 $\frac{cosB}{\sqrt{3}}$=$\frac{cos2B}{-2sinB}$，求得tan2B=-$\sqrt{3}$=$\frac{2tanB}{1{-tan}^{2}B}$，
再結(jié)合△ABC中，B為銳角，求得tanB=$\sqrt{3}$，可得B=$\frac{π}{3}$．
再由余弦定理可得b²=4=a²+c²-2ac•cosB≥2ac-ac=ac，∴ac≤4，
故△ABC面積S_△ABC =$\frac{1}{2}$ac•sinB≤$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．