Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ） 當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的最大值；
（Ⅱ） 討論f（x）在區(qū)間（0，e）上的單調(diào)情況；
（Ⅲ）試推斷方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有實(shí)數(shù)解．若有實(shí)數(shù)解，請(qǐng)求出它的解集．

Answer 1

（Ⅰ） 當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

…（1分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)…（3分）
∴f（x）_max=f（1）=-1…（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e），

1

x

∈(

1

e

，+∞)…（5分）
①若a≥-

1

e

，則f′（x）＞0，從而f（x）在（0，e）上增函數(shù)…（6分）
②若a＜-

1

e

，則由f′（x）＞0?a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f′（x）＜0?a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x＜e．…（7分）
∴f（x）在(0，-

1

a

)上增函數(shù)，在(-

1

a

，e)為減函數(shù)…（8分）
綜合上面得：當(dāng)a≥-

1

e

時(shí)，f（x）在（0，e）上增函數(shù)；當(dāng)a＜-

1

e

時(shí)，f（x）在(0，-

1

a

)上增函數(shù)，在(-

1

a

，e)為減函數(shù)．
（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x?|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

…（9分）
由（Ⅰ）知當(dāng)a=-1時(shí)f（x）_max=f（1）=-1，即-x+lnx≤-1
∴|x-lnx|≥1…（10分）
又令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，g′（x）=

1-lnx

x2

，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e
∴g（x）的增區(qū)間為（0，e），減區(qū)間為（e，+∞）
∴g（x）_max=g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，∴g（x）＜1…（12分）
∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞

lnx

x

+

1

2

…（13分）
∴方程|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x沒有實(shí)數(shù)解．…（14分）