Question

【題目】足球運(yùn)動被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動”.為推廣足球運(yùn)動，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)由于報(bào)名人數(shù)較多，需對報(bào)名者進(jìn)行“點(diǎn)球測試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：

（1）下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率.為加入足球社團(tuán)，該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測試”，每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立，將他在測試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為，求；

（2）社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，接到第n次傳球的人即為第次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為.

（i）求，，（直接寫出結(jié)果即可）；

（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i），，（ii）證明見解析；

【解析】

（1）先求出踢一次點(diǎn)球命中的概率，然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式分別求出取1，2，3的概率，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式可求得結(jié)果；

（2）（i）根據(jù)傳球順序分析可得答案；（ii）根據(jù)題意可得，再變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義可證結(jié)論.

（1）這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率為，

則該同學(xué)踢一次點(diǎn)球命中的概率，

由題意，可能取1，2，3，則

，，，

則的期望.

（2）（i）因?yàn)閺募组_始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，所以第1次觸球者是甲的概率，顯然第2次觸球者是甲的概率，第2次傳球有兩種可能，所以第3次觸球者是甲的概率概，

（ii）∵第n次觸球者是甲的概率為，

所以當(dāng)時(shí)，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，

則.

從而，又，

∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.