Question

3．定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下列兩個條件：（1）對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立； （2）當x∈（1，2]時，f（x）=2-x；記函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1），若函數(shù)g（x）恰有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是$[{\frac{4}{3}，2}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因為f（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過定點（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可．

解答 解：∵對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且當x∈（1，2]時，f（x）=2-x，
∴f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．
由題意得f（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過定點（1，0）的直線，
如圖所示紅色的直線與線段AB相交即可（可以與B點重合但不能與A點重合），

∴可得k的范圍為：$[{\frac{4}{3}，2}）$，
故答案為：$[{\frac{4}{3}，2}）$．

點評 本題考查函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．