Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右準(zhǔn)線

l：x＝m＋1與x軸的交點(diǎn)為B，BF2＝m．

（1）已知點(diǎn)(，1)在橢圓C上，求實(shí)數(shù)m的值；

（2）已知定點(diǎn)A(－2，0)．

①若橢圓C上存在點(diǎn)T，使得＝，求橢圓C的離心率的取值范圍；

②當(dāng)m＝1時(shí)，記M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C交于另一點(diǎn)P，Q，

若 ＝λ，＝，求證：λ＋為定值．

 

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為 ＋＝1(a＞b＞0)．

解得m＝2或m＝－ (舍去）．

所以m＝2．                                   

（2）①設(shè)點(diǎn)T(x，y)．

由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2． 

由 得y2＝m2－m．

因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2．

即2(＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0．

因?yàn)?＋y12＝1，代入得2 (－1)x1＋32－4＋1＝0．

由題意知，≠1，

故x1＝－，所以x0＝． 

同理可得x0＝．                       

因此＝，

所以＋＝6．                                

（方法二）設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

即λ＋為定值6．