Question

已知數(shù)列{a_n}的每項均為正數(shù)，首項a₁=1．記數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，滿足a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²．
（1）求a₂的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

1

an•an+3

，記數(shù)列{b_n}前n項和為T_n，求證：T_n＜

11

18

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知當n=2時，1+a23=(1+a2)2，解得a₂=2.an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1，從而a_n+1-a_n=1，進而數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為1的等差數(shù)列，由此求出a_n=n．
（2）由

1

an•an+3

=

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，利用裂項求和法能證明T_n＜

11

18

．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
∴當n=2時，1+a23=(1+a2)2，解得a₂=2．
由于a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2①
a13+a23+…+an3+an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2②
②-①得an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2-(a1+a2+…+an)2，
∵a_n＞0，∴an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1③，
同樣有an2=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2)，④．
③-④an+12-an2=an+1+an，
∴a_n+1-a_n=1，∵a₂-a₁=1，即當n≥1時都有：a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為1的等差數(shù)列．故a_n=n．（7分）
（2）由（1）知a_n=n，則

1

an•an+3

=

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，
∴Tn=

1

a1a4

+

1

a2a5

+

1

a3a6

+…+

1

anan+3

=

1

3

(

1

1•4

+

1

2•5

+

1

3•6

+…+

1

n(n+3)

)=

1

3

(1-

1

4

+

1

2

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+3

)
=

1

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n+1

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

11

18

，
∴T_n＜

11

18

．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．