Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，離心率為，右準線為l：x=4．M為橢圓上不同于A，B的一點，直線AM與直線l交于點P．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若，判斷點B是否在以PM為直徑的圓上，并說明理由；
（3）連接PB并延長交橢圓C于點N，若直線MN垂直于x軸，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意建立方程組可求a²和b²的值，可寫方程；
（2）要判斷點B是否在圓上，可轉化為判是否為0；
（3）設點，寫出直線的方程，分別和橢圓方程聯(lián)立，可解得y_p=，和y_p=，由兩式相等可解得M坐標．
解答：解：（1）由解得所以b²=3．
所以橢圓方程為=1．                             …（4分）
（2）因為，，所以x_M=1，代入橢圓得y_M=，即M（1，），
所以直線AM為：y=（x+2），得P（4，3），
所以=（-1，），=（2，3）．                       …（8分）
因為=≠0，所以點B不在以PM為直徑的圓上．  …（10分）
（3）因為MN垂直于x軸，由橢圓對稱性可設M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．
直線AM的方程為：y=（x+2），所以y_p=，
直線BN的方程為：y=（x-2），所以y_p=，…（12分）
所以=．因為y₁≠0，所以=-．解得x₁=1．
所以點M的坐標為（1，±）．                        …（16分）
點評：本題為橢圓與直線的位置關系的考查，涉及向量的知識和圓的知識，屬中檔題．