Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b，其圖象在點（1，f（x））處的切線方程為x+y-3=0．
（1）求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對x∈[-2，4]，不等式f（x）＜c²-c恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知可得f′（x）=x²-2ax+（a²-1），f（1）=2=

1

3

-a+a2-1+b，利用導數(shù)的幾何意義可得f′（1）=1-2a+a²-1=-1，聯(lián)立解得即可．
（2）利用導數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，由x∈[-2，4]，不等式f（x）＜c²-c恒成立?[f（x）]_max＜c²-c，x∈[-2，4]．解出即可．

解答： 解：（1）f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b，
∴f′（x）=x²-2ax+（a²-1），
∵函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0．
∴f（1）=2=

1

3

-a+a2-1+b，f′（1）=1-2a+a²-1=-1，
解得a=1，b=

8

3

．
∴f′（x）=x²-2x=x（x-2），
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0；令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增為（-∞，0），（2，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．
（2）由（1）可得：f（x）=

1

3

x3-x2+

8

3

，f′（x）=x²-2x=x（x-2）．

x	[-2，0）	0	（0，2）	2	（2，4]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值，f（0）=

8

3

，又f（4）=8．
∴函數(shù)f（x）在x∈[-2，4]上的最大值為8．
由x∈[-2，4]，不等式f（x）＜c²-c恒成立?[f（x）]_max＜c²-c，x∈[-2，4]．
∴c²-c＞8，
解得c＞

1+ 33

2

或c＜

1- 33

2

．
∴c的取值范圍是(-∞，

1- 33

2

)∪(

1+ 33

2

，+∞)．

點評：本題考查了利用導數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、切線方程，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．