Question

若4a²-3b²=12，則|2a-b|的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)出a=

3

secα，b=2tanα，化簡(jiǎn)2a-b，可令

3

cosα

-

sinα

cosα

=t，運(yùn)用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域得到不等式，解得即可得到最小值．

解答： 解：4a²-3b²=12，即為

a2

3

-

b2

4

=1，
可設(shè)a=

3

secα，b=2tanα，
則有2a-b=2

3

secα-2tanα=2•（

3

cosα

-

sinα

cosα

）
可令

3

cosα

-

sinα

cosα

=t，
即有

3

=sinα+tcosα=

1+t2

sin（α+θ）（θ為輔助角），
由于|sin（α+θ）|≤1，即1+t²≥3，
解得|t|≥

2

，
則有|2a-b|=|2t|≥2

2

．
則最小值為2

2

．
故答案為：2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，考查兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．