Question

18．若點O和點F分別為橢圓3x²+4y²=12的中心和左焦點，點P為橢圓上任意一點，則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$最大值為6．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），由數(shù)量積運算及點P在橢圓上可把$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$表示為x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求其最大值．

解答 解：設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$=（x，y）•（x+1，y）=x²+x+y²，
又點P在橢圓上，故3x²+4y²=12，
所以x²+x+（3-$\frac{3}{4}$x²）=$\frac{1}{4}$x²+x+3=$\frac{1}{4}$（x+2）²+2，
又-2≤x≤2，
所以當(dāng)x=2時，$\frac{1}{4}$（x+2）²+2取得最大值為6，即$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最大值為6，
故答案為：6．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算、橢圓的簡單性質(zhì)，屬中檔題．