Question

已知F₁（﹣2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)P滿足||PF₁|﹣|PF₂||=2，記點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)F₂的直線l交軌跡E于P、Q兩不同點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)M（m，0），問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得直線 l 繞點(diǎn)F₂ 無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有=0成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P滿足||PF₁|﹣|PF₂||=2，
∴點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的雙曲線．
∵F₂（﹣2，0），F(xiàn)₂（2，0），∴c=2
∵a=1，∴b²=c²﹣a²=3
∴軌跡方程為；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（m，0），使得無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有=0成立
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線方程為y=k（x﹣2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k²﹣3）x²﹣4k²x+4k²+3=0，
∴
解得k²＞3．
∵=（x₁﹣m）（x₂﹣m）+k²（x₁﹣2）（x₂﹣2）
                =（k²+1）x₁x₂﹣（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²       
                =
                =．
∵，
∴3（1﹣m²）+k²（m²﹣4m﹣5）=0對(duì)任意的k2＞3恒成立，
∴，
解得m=﹣1．
∴當(dāng)m=﹣1時(shí)，．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由P（2，3），Q（2，﹣3）及M（﹣1，0）知結(jié)論也成立，
綜上，當(dāng)m=﹣1時(shí)，．