Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

+

1

2

．
（1）求f（x）的周期和及其圖象的對稱中心；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)f（x）的解析式為 sin（

x

2

+

π

6

）+1，故f（x）的周期為4π，由sin(

x

2

+

π

6

)=0，得x=2kπ-

π

3

，故f（x）圖象的對稱中心為(2kπ-

π

3

，1)，k∈Z．
（2）利用正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，化簡可得cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

，從而得到

A

2

+

π

6

 的范圍，進(jìn)而得到函數(shù)f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）由f(x)=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+1=sin(

x

2

+

π

6

)+1，∴f（x）的周期為4π．
由sin(

x

2

+

π

6

)=0，得x=2kπ-

π

3

，故f（x）圖象的對稱中心為(2kπ-

π

3

，1)，k∈Z．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

．∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1，
故函數(shù)f（A）的取值范圍是(

3

2

，2)．

點評：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及簡單的三角變換，要求學(xué)生能正確運(yùn)用三角函數(shù)的概念和公式對已知的三角函數(shù)進(jìn)行化簡求值．