Question

2．已知一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，這個球的表面積是4π，則這個三棱柱的體積是$6\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設球心為O，上下底面的中心分別為O₁，O₂，球O與三個側面相切的切點分別A，B，C．設球的半徑為R，由球的表面積是4π，可得4πR²=4π，R=1．可得O₁O₂=2，為三棱柱的高．在等邊三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB，可得三棱柱的底面邊長=2AB．利用等邊三角形的面積計算公式可得三棱柱的底面面積S，即可得出三棱柱的體積．

解答 解：如圖所示，
設球心為O，上下底面的中心分別為O₁，O₂，球O與三個側面相切的切點分別A，B，C．
設球的半徑為R，∵球的表面積是4π，∴4πR²=4π，
解得R=1．∴O₁O₂=2，為三棱柱的高．
在等邊三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
可得三棱柱的底面邊長=$2\sqrt{3}$．
∴三棱柱的底面面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$=3$\sqrt{3}$．
∴這個三棱柱的體積=S•O₁O₂=6$\sqrt{3}$．
故答案為：6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正三棱柱及其內切球的性質、體積計算公式、等邊三角形的性質，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．