Question

12．計算下列各式的值
（1）log₃$\sqrt{27}$+lg25+lg4$+{（{0.125}）^{\frac{1}{3}}}$
（2）已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求值：$\frac{{a+{a^{-1}}}}{{{a^2}+{a^{-2}}}}$．

Answer 1

分析 （1）利用對數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪性質(zhì)、運算法則求解．
（2）利用分指數(shù)冪性質(zhì)、運算法則和完全平方式求解．

解答 解：（1）log₃$\sqrt{27}$+lg25+lg4$+{（{0.125}）^{\frac{1}{3}}}$
=$\frac{3}{2}+2+\frac{1}{2}=4$．（5分）
（2）∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴${（{a^{\frac{1}{2}}}+{a^{-\frac{1}{2}}}）^2}=a+{a^{-1}}+2=9$，
∴a+a^-1=7，（7分）
∴（a+a^-1）=a²+a^-2+2=49，
∴a²+a^-2=47，（9分）
∴$\frac{{a+{a^{-1}}}}{{{a^2}+{a^{-2}}}}=\frac{7}{47}$．（10分）

點評 本題考查指數(shù)式、對數(shù)式化簡求值，考查代數(shù)式求值，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪性質(zhì)、運算法則和完全平方式的合理運用．