Question

已知數(shù)列a₁，a₂，…，a₃₀，其中a₁，a₂，…，a₁₀是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差為d的等差數(shù)列；a₂₀，a₂₁，…，a₃₀是公差為d²的等差數(shù)列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）試寫出a₃₀關于d的關系式，并求a₃₀的取值范圍；
（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a₃₀，a₃₁，…，a₄₀是公差為d³的等差數(shù)列．

Answer 1

（1）由題意可得a₁₀=1+9=10，a₂₀=10+10d=40，∴d=3．
（2）a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0），
a₃₀=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]，由二次函數(shù)的性質可知：
當d∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，a₃₀∈[7.5，+∞）
（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{a_n]，
其中a₁，a₂，…，a₁₀是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
當n≥1時，數(shù)列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差為dⁿ的等差數(shù)列．
當n=3時，可得a₃₀，a₃₁，…，a₄₀是公差為d³的等差數(shù)列．