Question

在等比數(shù)列{a_n}中,a₁+a_n=66,a₂·a_n-1=128,且前n項(xiàng)和S_n=126,求n及公比q.

     

Answer 1

思路分析：本題可以根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)將a₂·a_n-1=128化為a₁·a_n=128.然后結(jié)合a₁+a_n=66解得a₁和a_n,再列出關(guān)于a₁和q及n的方程解之即可.

    解:∵a₁a_n=a₂a_n-1=128,又a₁+a_n=66,

∴a₁、a_n是方程x²-66x+128=0的兩根.

    解方程得x₁=2,x₂=64.

∴a₁=2,a_n=64或a₁=64,a_n=2,顯然q≠1.

    若a₁=2,a_n=64,由=126,得2-64q=126-126q.

∴q=2.由a_n=a₁q^n-1,得2^n-1=32.

∴n=6.

    若a₁=64,a_n=2,同理可求得q=,n=6.

    綜上所述,n的值為6,公比q=2或.

    思維啟示：(1)等比數(shù)列中的五個(gè)量a₁,q,a_n,n,S_n知三可求二.利用方程思想把已知量和待求量用a₁和q表示出來,建立方程組求解,此法稱為“基本量法”.

(2)運(yùn)用S_n=公式時(shí),首先應(yīng)驗(yàn)證q是否等于1.