Question

9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（$\frac{α}{2π}$）=$\frac{1}{3}$，求cos（$\frac{2π}{3}$-α）的值；
（2）若在x∈[0，a]（a＞0）上函數(shù)存在2個(gè)最大值，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象求出A，ω和φ的值即可求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由圖象知A=2，$\frac{T}{4}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，
即函數(shù)的周期T=2，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=2，∴ω=π，即f（x）=2sin（πx+φ），
由五點(diǎn)對應(yīng)法知$\frac{1}{3}π+φ=\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{π}{6}$，
即f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$），
若f（$\frac{α}{2π}$）=$\frac{1}{3}$，即2sin（π×$\frac{α}{2π}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
即sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{6}$，
則cos（$\frac{2π}{3}$-α）=2cos²（$\frac{π}{3}$-$\frac{α}{2}$）-1=2sin²[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$-$\frac{α}{2}$）]-1=2sin²（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1=2×$（\frac{1}{6}）^{2}-1=-\frac{17}{18}$．
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，
∵f（$\frac{1}{3}$）=2為最大值，函數(shù)的周期T=2，
∴f（$\frac{1}{3}+2$）=f（$\frac{7}{3}$）=2為第二個(gè)最大值，
f（$\frac{1}{3}$+4）=f（$\frac{13}{3}$）=2為第三個(gè)最大值，
若在x∈[0，a]（a＞0）上函數(shù)存在2個(gè)最大值，
則$\frac{7}{3}$≤a＜$\frac{13}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角函數(shù)值的化簡和求解，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．