Question

17．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{a{x}^{2}+2x+a-3}}$的定義域為實數(shù)集R，則a取值集合為{a|a＞$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域為實數(shù)集R，得出不等式ax²+2x+a-3＞0在x∈R上恒成立；
討論a的取值范圍，求出滿足條件的a的取值集合即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{a{x}^{2}+2x+a-3}}$的定義域為實數(shù)集R，
∴ax²+2x+a-3＞0在x∈R上恒成立；
當a=0時，不等式化為2x-3＞0，不滿足題意；
當a≠0時，應滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-4a（a-3）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞\frac{3+\sqrt{13}}{2}或a＜\frac{3-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，
即a＞$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$；
∴a的取值集合為{a|a＞$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$}．
故答案為：{a|a＞$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$}．

點評 本題考查了求函數(shù)的定義域以及不等式的恒成立問題，是基礎題目．