Question

已知函數(shù)f（x）=（1-m）lnx+

m

2

x²-nx（m≠0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求n的值；
（2）若存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜1-

1

m

成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)m分類討論：①當(dāng)m＜0時(shí)，②當(dāng)m=

1

2

時(shí)，③當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，④當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，求得最小值，解不等式即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（1-m）lnx+

m

2

x²-nx（m≠0），
導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1-m

x

+mx-n（x＞0），
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=1-m+m-n=0，
解得n=1．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由（1）可知：f（x）=（1-m）lnx+

m

2

x²-x（m≠0），
∴f′（x）=

1-m

x

+mx-1=

(x-1)(mx-1+m)

x

，
由f′（x）=0可得x=1或

1-m

m

，
①當(dāng)m＜0時(shí)，則f（x）在x≥1遞減，f（1）取得最大值，且為

m

2

-1，
由題意可得不成立；
②當(dāng)m=

1

2

時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在x≥1遞增，f（1）取得最小值，且為-

3

4

，
由存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜1-

1

m

成立，可得-

3

4

＜1-2不成立，舍去；
③當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，1＜

1-m

m

，f（x）在（1，

1-m

m

）遞減，在（

1-m

m

，+∞）遞增，
即有f（

1-m

m

）取得最小，
由題意可得f（

1-m

m

）＜1-

1

m

即（1-m）ln

1-m

m

+

m

2

（

1-m

m

）²＜0，
顯然左邊大于0，則不成立；
④當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，1＞

1-m

m

，f（x）在[1，+∞）遞增，即有f（1）取得最小值，且為

m

2

-1，
由題意可得f（1）＜1-

1

m

即為

m

2

-1＜1-

1

m

，
解得2-

2

＜m＜2+

2

．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（2-

2

，2+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．