Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)銳角α的終邊與圓O：x²+y²=1交于點M（x₁，y₁），點M沿圓O逆時針移動$\frac{π}{3}$個單位弧長后到達(dá)點N，設(shè)點N的坐標(biāo)為（x₂，y₂），則x₁•x₂的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• B． （-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，1]
• D． [-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的定義求出函數(shù)x₁•x₂=cosαcos（α+$\frac{π}{3}$），再根據(jù)兩角和與差的余弦公式，二倍角公式，化簡，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：由三角函數(shù)定義知，x₁=cosα，x₂=cos（α+$\frac{π}{3}$），
∴x₁•x₂=cosαcos（α+$\frac{π}{3}$）=cosα（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα），
=$\frac{1}{2}$cos²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα，
=$\frac{1}{4}$（cos2α+1）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α）+$\frac{1}{4}$，
=$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴-1≤cos（2α+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的定義，兩角和與差的余弦公式，二倍角公式，余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．