Question

如下圖,已知平面α∩β=a,　bβ,a∩b=A,且cα,c∥a,求證:b、c為異面直線.?

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Answer 1

思路分析:反證法.假設(shè)b、c共面,則有兩種情況:①b與c相交;②b與c平行.?

       證法一:假設(shè)b、c不是異面直線,即b、c為共面直線,則b、c為相交直線或平行直線.

       (1)若b∩c=P,已知bβ,cα,又α∩β=a,則P∈bβ,且P∈cα,從而,交點(diǎn)P一定在平面α、β的交線上(公理二),即P∈a,于是a∩c=P,這與已知條件a∥c矛盾.因此b、c相交不成立.?

       (2)若b∥c,已知a∥c,則a∥b(公理四),這與已知條件a∩b=A矛盾,因此b、c平行也不能成立.?

       綜合(1)(2)可知b、c為異面直線.?

       證法二:假設(shè)b、c不是異面直線,即假設(shè)直線b、c在同一個(gè)平面γ內(nèi),則b γ,cγ,在直線b上任取一點(diǎn)B(不同于A,B α);從而,平面γ一定經(jīng)過B點(diǎn)與直線c.?

       又∵A∈a,a∥c,?

       ∴Aα.于是c與c外一點(diǎn)A的平面就是α,而這樣的平面只能有一個(gè).從而,直線b、c都在平面α內(nèi),但B∈bα,這與Bα矛盾.因此b、c為異面直線.?

       溫馨提示:立體幾何中異面直線問題、共面問題常用反證法.反證法中要正確推理,將反設(shè)列入已知條件,按一般邏輯推理程序和法則推理.推理中沒有用到“反設(shè)”就不是反證法.