Question

設函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數(shù)為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)”．已知當m≤2時，y=f（x）=

1

6

x³-

1

2

mx²+2x+2在（-1，2）上是“凸函數(shù)”，則f（x）在（-1，2）上（　　）

• A、既沒有最大值，也沒有最小值
• B、既有最大值，也有最小值
• C、有最大值，沒有最小值
• D、沒有最大值，有最小值

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)凸函數(shù)的定義知道f′′（x）＜0，在（-1，2）上恒成立，從而得到m＞x在（-1，2）上恒成立，這便得到m≥2，又m≤2，所以求得m=2．所以便能求出f′（x），并能判斷f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-1，2）上為單調函數(shù)，所以在開區(qū)間上無最值．

解答： 解：f′(x)=

1

2

x2-mx+2，f″(x)=x-m；
∵y=f（x）在（-1，2）上是“凸函數(shù)”，∴f′′（x）=x-m＜0在（-1，2）上恒成立，∴m＞x在（-1，2）上恒成立，∴m≥2，又m≤2，∴m=2；
∴f′(x)=

1

2

x2-2x+2=

1

2

(x-2)2＞0，所以f（x）在（-1，2）上為單調增函數(shù)，所以該函數(shù)在該區(qū)間上既沒有最大值，也沒有最小值．
故選A．

點評：考查對新概念的理解和運用能力，函數(shù)導數(shù)的符號和函數(shù)單調性的關系，單調函數(shù)在開區(qū)間上取極值的情況．