Question

已知橢圓的離心率為，以右焦點為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）E、F是橢圓C上的兩個動點，為定點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

（1）解：設(shè)橢圓的右焦點為（c，0）
∵以右焦點為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線相切
∴
∵e=，
∴a=2c
∴，
∴c=1
∴a=2
∴b²=a²﹣c²=3
∴
（2）證明：設(shè)直線AE方程：得，
代入橢圓方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3﹣2k）x+4﹣12=0
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
因為點在橢圓上，所以x₁=，y₁=kx₁+﹣k．
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，
在上式中以﹣k代k，可得
x₂=，y₂=﹣kx₂++k．
所以直線EF的斜率k_EF==．
即直線EF的斜率為定值，其值為．