Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實數(shù)，若$f（x）≤|{f（\frac{π}{3}）}|$對于任意x∈R恒成立，且$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，則$f（\frac{5π}{12}）$的值為（　�。�

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． 0
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意得f（$\frac{π}{3}$）是函數(shù)f（x）的最值，求得φ=kπ-$\frac{π}{6}$．再根據(jù)f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），可得sinφ＜0．故可取φ=-$\frac{π}{6}$，從而求得f（$\frac{5π}{12}$）的值．

解答 解：由題意可得，f（$\frac{π}{3}$）是函數(shù)f（x）的最值，故有2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ=kπ-$\frac{π}{6}$．
再根據(jù)f（$\frac{π}{2}$）=sin（π+φ）=-sinφ＞f（π）=sin（2π+φ）=sinφ，可得sinφ＜0．
故可取φ=-$\frac{π}{6}$，故f（$\frac{5π}{12}$）=sin（$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的最值，求出φ的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．