Question

用3米長的繩索圍一個三角形，怎樣圍可以使這個三角形的面積最大？（限用導數(shù)法）

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：應用題,導數(shù)的綜合應用

分析：可知當?shù)走呉欢�，另兩邊和是定值時，則這兩邊相等，即為等腰三角形時三角形面積最大，設底邊長為x米，則另兩邊長為

3-x

2

米，

3-x

2

米，高為

( 3-x 2 )2-( x 2 )2

=

9-6x

2

米，面積S=

1

2

×

x 9-6x

2

=

x 9-6x

4

，兩邊平方后利用導數(shù)可求得最值．

解答： 解：當?shù)走呉欢�，另兩邊和是定值時，則這兩邊相等，即為等腰三角形時三角形面積最大，
∴設底邊長為x米，則另兩邊長為

3-x

2

米，

3-x

2

米，高為

( 3-x 2 )2-( x 2 )2

=

9-6x

2

米，
面積S=

1

2

×

x 9-6x

2

=

x 9-6x

4

，
4S²=x²（9-6x）=-6x³+9x²，y′=-18x²+18x，
當0＜x＜1時y′＞0，當x＞1時，y′＜0，
∴x=1時4S²取得極大值，也為最大值，4S²≤3，
S≤

3

2

，
∴當三角形是邊長為1的等邊三角形時，面積最大為

3

2

．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，在實際問題中正確建立函數(shù)模型是解題關(guān)鍵所在．