Question

【題目】將平面上每個(gè)點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一著色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角形，它們的相似比為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色。

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

首先證明平面上一定存在三頂點(diǎn)同色的直角三角形.在平面上任作直線(xiàn)，則上必有兩點(diǎn)同色，設(shè)此兩點(diǎn)為，.過(guò)，分別作的垂線(xiàn)，.如果或上有與，同色的點(diǎn)，則

即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形.如果與上除與外其余點(diǎn)均與，異色，則在上取異于的兩點(diǎn)，，并過(guò)作，垂足為，則即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形.因此，平面上一定存在三頂點(diǎn)同色的直角三角形，設(shè)其中之一為.將對(duì)稱(chēng)地補(bǔ)成矩形.用兩組分別平行于與的等分平行線(xiàn)將矩形等分成個(gè)與原矩形相似的小矩形.（如圖）

以下用反證法證明：若為奇數(shù)，則在這些小矩形中必有一個(gè)，它的頂點(diǎn)中至少有三個(gè)同色，即存在一個(gè)三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.假設(shè)不存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.線(xiàn)段上端點(diǎn)及分點(diǎn)共個(gè)，為偶數(shù)，因此上必有相鄰的兩點(diǎn)同色（若每相鄰兩點(diǎn)異色，則，亦應(yīng)異色，與已知矛盾），不妨設(shè)為，.則，所在的小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)必與，異色（否則已出現(xiàn)同色小三角形）.依次類(lèi)推，可知矩形中，每條豎線(xiàn)上的兩頂點(diǎn)都同色.同理，線(xiàn)段上有相鄰兩點(diǎn)，同色，也有矩形，其中每條橫線(xiàn)上的兩頂點(diǎn)都同色.設(shè)矩形與的公共部分為小矩形，由以上所說(shuō)，與同色且與同色，從而即是三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.這與假設(shè)矛盾.因此必存在一個(gè)三頂點(diǎn)同色的小直角三角形.這個(gè)三頂點(diǎn)同色的小直角三角形與原直角三角形是相似的，相似比為，當(dāng)時(shí)就是題目所要證明的結(jié)論.