Question

4．定義在R上的函數f（x）滿足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，則不等式f（x）＞$\frac{4}{{e}^{x}}$+2（其中e為自然對數的底數）的解集為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 構造輔助函數，求導，由函數的單調性與導數的關系，求得函數的單調性，則原不等式轉化成F（x）＞F（1），利用函數的單調性即可求得不等式的解集．

解答 解：設F（x）=e^xf（x）-2e^x，（x∈R），
求導F′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-2e^x=e^x[f（x）+f′（x）-2]，
∵f（x）+f′（x）＞2，
∴f（x）+f′（x）-2＞0，
∴F′（x）＞0，
∴y=F（x）在定義域上單調遞增，
∵e^xf（x）＞2e^x+4，即F（x）＞4，
又∵F（1）=ef（1）-2e=4，
∴F（x）＞F（1），
∴x＞1，
故選A．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性，考查轉化思想，屬于中檔題．