Question

已知關(guān)于x的方程4x²-2(m+1)x+m=0的兩個(gè)根恰好是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的余弦，求實(shí)數(shù)m的值.

Answer 1

解:設(shè)Rt△ABC的兩個(gè)銳角分別為A、B,則A+B=,cosA=sinB.

對于方程4x²-2(m+1)x+m=0,

Δ=4(m+1)²-16m=4(m-1)²≥0.

顯然當(dāng)m∈R時(shí)，方程總有兩個(gè)實(shí)根.

又cosA+cosB=sinB+cosB=,                                                 ①

cosA·cosB=sinB·cosB=,                                                       ②

∴由①②及sin²B+cos²B=1,可得(sinB+cosB)²=1+2sinBcosB=1+2·=()².解之,得m=±.

當(dāng)m=時(shí)，cosA+cosB=＞0,cosA·cosB=＞0,符合題意.當(dāng)m=-時(shí)，cosA+cosB=＜0與A、B是銳角矛盾，舍去.故m=.