Question

14．一半徑為4m的水輪，如圖所示水輪圓心O距離水面2m，己知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上P點從水中浮現(xiàn)時（圖中P₀）點開始計算時間．
（1）求P點相對于水面的高度h（m）與時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式：
（2）P點第一次達(dá)到最高點約要多長時間？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)h的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，當(dāng)t=0時，h=0，進(jìn)而求得φ的值，則函數(shù)的表達(dá)式可得；
（2）令最大值為6，即h=4sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）+2=6，可求得時間．

解答 解：（1）依題意可知h的最大值為6，最小為-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{A+B=6}\\{-A+B=-2}\end{array}\right.$，∴A=4，B=2；
∵水輪每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為$\frac{4×2π}{60}$=$\frac{2π}{15}$，得h=4sin（$\frac{2π}{15}$t+φ）+2，
當(dāng)t=0時，h=0，得sinφ=-$\frac{1}{2}$，即φ=-$\frac{π}{6}$，故所求的函數(shù)關(guān)系式為h=4sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）+2
（2）令h=4sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）+2=6，得sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）=1，
取$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得t=5，
故點P第一次到達(dá)最高點大約需要5s．

點評 本題主要考查了在實際問題中建立三角函數(shù)模型的問題．考查了運用三角函數(shù)的最值，周期等問題確定函數(shù)的解析式．