Question

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，且∠CBE=90°，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）
（1）能否說明對任意a∈(0，

2

)，恒有MN∥平面CBE？
（2）當a為何值時，MN的長最短？

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，證明MNQP是平行四邊形．然后證明MN∥平面CBE且與a的大小關(guān)系無關(guān)．
（2）由（1）MN=PQ，CM=BN=a，脫光光

CP

1

=

a

2

，

BQ

1

=

a

2

，求出MN的表達式，然后求解最小值．

解答： 解：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，
依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形．
PQ?平面CBE，MN?平面CBE，MN∥平面CBE且與a的大小關(guān)系無關(guān)．
（2）由（1）MN=PQ，CM=BN=a，AC=BF=

2

，

CP

1

=

a

2

，

BQ

1

=

a

2

，CP=BQ=

2

2

a
MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2)

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

=

1- 2 a+a2

，（0＜a＜

2

）
∴當a=

2

2

，即當M、N分別為AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為

2

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，空間兩點間距離公式求解最值問題，考查空間想象能力以及計算能力．