Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q,前n項和S_n＞0(n=1,2,…).

(1)求q的取值范圍;

(2)設(shè)b_n=a_n+2-a_n+1,記{b_n}的前n項和為T_n,試比較S_n與T_n的大小.

Answer 1

解：(1)因為{a_n}是等比數(shù)列,S_n＞0,可得a₁=S₁＞0,q≠0.

    當q=1時,S_n=na₁＞0;

    當q≠1時,S_n=＞0,即＞0.

    上式等價于不等式組                     ①

    或                                             ②

    解①得q＞1;

    解②得-1＜q＜0或0＜q＜1.

    綜上，q的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞).

(2)由b_n=a_n+2-a_n+1,得

b_n=a_n(q²-q),T_n=(q²-q)S_n.

    于是T_n-S_n=S_n(q²-q-1)=S_n(q+)(q-2).

    又因為S_n＞0且-1＜q＜0或q＞0,所以,

    當-1＜q＜-或q＞2時,T_n-S_n＞0,即T_n＞S_n;

    當-＜q＜2且q≠0時,T_n-S_n＜0,即T_n＜S_n;

    當q=-或q=2時,T_n-S_n=0,即T_n=S_n.