Question

17．如圖，在幾何體A₁B₁C₁-ABC中，△ABC為等邊三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁∥CC₁，BB₁：CC₁：AA₁=3：2：1
（Ⅰ）求證：平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）F為線段BB₁上一點，當A₁B₁∥平面ACF時，求$\frac{{B}_{1}F}{{B}_{1}B}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）：取A₁B₁，AB的中點M，N，連接C₁M，CN，MN，只需證明四邊形C₁MNC是平行四邊形，即可得到C₁M⊥平面A₁ABB₁ ，平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ABB₁
（Ⅱ）可得四邊形A₁AFB₁是平行四邊形，即B₁F=AA₁，由BB₁：AA₁=3：1，得$\frac{{B}_{1}F}{{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）證明：取A₁B₁，AB的中點M，N，連接C₁M，CN，MN，
∴AA₁∥BB₁∥MN，CC₁∥MN；
又因為$MN=\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{2}$，BB₁：CC₁：AA₁=3：2：1
所以$C{C}_{1}=\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{2}=MN$，即四邊形C₁MNC是平行四邊形，∴C₁M∥CN
又AA₁⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面A₁ABB₁，
∵平面A₁B₁C₁∩平面A₁ABB₁=AB，又CN⊥AB，∴CN⊥平面A₁ABB₁
∴C₁M⊥平面A₁ABB₁ ，又C₁M平面A₁B₁C₁
∴平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ABB₁
（Ⅱ）∵A₁B₁∥平面ACF，A₁B₁?平面A₁ABB₁，面ACF∩平面A₁ABB₁，∴A₁B₁∥AF．
又AA₁∥BB₁，所以四邊形A₁AFB₁是平行四邊形，∴B₁F=AA₁，因為BB₁：AA₁=3：1．
∴$\frac{{B}_{1}F}{{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}$，

點評 本題考查了空間面面平行的判定，線面平行的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題，