Question

【題目】已知F1、F2分別是雙曲線 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，以坐標(biāo)原點O為圓心，OF1為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為P，則當(dāng)△PF1F2的面積等于a2時，雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè)F1F2=2c，由題意知△F1F2P是直角三角形，
∴F1P2+F2P2=F1F22 ，
又根據(jù)曲線的定義得：
F1P﹣F2P=2a，
平方得：F1P2+F2P2﹣2F1P×F2P=4a2
從而得出F1F22﹣2F1P×F2P=4a2
∴F1P×F2P=2（c2﹣a2）
又當(dāng)△PF1F2的面積等于a2
即 F1P×F2P=a2
2（c2﹣a2）=a2∴c= a，
∴雙曲線的離心率e= = ．
故選A．
先設(shè)F1F2=2c，由題意知△F1F2P是直角三角形，進(jìn)而在RT△PF1F2中結(jié)合雙曲線的定義和△PF1F2的面積，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的簡單性質(zhì)求得a，c之間的關(guān)系，則雙曲線的離心率可得．