Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-3
（1）若函數(shù)g（x）=f（6^x）在（-∞，1）有兩個不相等的零點，求a的取值范圍；
（2）若a=2，且存在實數(shù)t，當x∈[1，m]（m＞1）時，f（x+t）≤4x恒成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）令t=6^x，則f（t）=0在（0，6）上有兩個不相等的零點．
（2）由當x∈[1，m]時，f（x+t）≤4x恒成立即設g（x）=f（x+t）-4x≤0恒成立，即g（1）≤0且g（m）≤0，解出t的范圍，討論m的取值即可得到m的最大值．

解答 解：（1）令t=6^x，∵x∈（-∞，1），∴t∈（0，6），則f（t）=t²-at+2a-3=（t-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a-3在（0，6）上有兩個不相等的零點．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{4}+2a-3＜0}\\{2a-3＞0}\\{33-4a＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{3}{2}$＜a＜2或6＜a＜$\frac{33}{4}$．
∴a的取值范圍是（$\frac{3}{2}$，2）∪（6，$\frac{33}{4}$）．
（2）a=2時，f（x）=x²-2x+1，
令g（x）=f（x+t）-4x=x²+2tx-6x+t²-2t+1．
則x²+2tx-6x+t²-2t+1≤0在[1，m]上恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≤0}\\{g（m）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤t≤2}\\{{m}^{2}+（2t-6）m+（t-1）^{2}≤0}\end{array}\right.$．
當t=-2時，m²-10m+9≤0，解得1≤m≤9，
當t=2時，m²-2m+1≤0，解得m=1．
綜上，m的最大值是9．

點評 考查學生理解函數(shù)恒成立時取條件的能力．靈活運用二次函數(shù)求最值的方法的能力．