Question

17．在區(qū)間[-1，1]上任取一個(gè)數(shù)a，則曲線y=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²在點(diǎn)x=a處的切線的傾斜角為銳角的概率為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得曲線在x=a處切線的斜率，由題意可得斜率大于0，解不等式可得a的范圍，再由幾何概率的公式，求出區(qū)間的長度相除即可得到所求．

解答 解：y=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²在的導(dǎo)數(shù)為y′=2x²-x，
則曲線y=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²在點(diǎn)x=a處的切線的斜率為k=2a²-a，
傾斜角為銳角，即為2a²-a＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜0，
由-1≤a≤1，可得$\frac{1}{2}$＜a≤1或-1≤a＜0，
則切線的傾斜角為銳角的概率為$\frac{1-\frac{1}{2}+1}{1-（-1）}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線的斜率和傾斜角，考查不等式的解法，同時(shí)考查幾何概率的求法，注意運(yùn)用區(qū)間的長度，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．