Question

12．如圖，過圓O外一點(diǎn)A分別作圓O的兩條切線AB、AC，延長BA于點(diǎn)D，使DA=AB，直線CD交圓O于點(diǎn)E，AE交圓O于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)I，AC與DF交于點(diǎn)H．
（Ⅰ）證明：A、D、C、F四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）若HI∥DE，求證：△BED為等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接CF，證明∠CFE=∠BDC，即可證明A、D、C、F四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）證明∠ADC=∠DBC=∠CBE，BC⊥DE，即可證明△BED為等腰直角三角形．

解答 證明：（Ⅰ）連接CF，由已知，在△BCD中，AB=AC=AD，
∴∠BCD=∠BCE=90°，
∴BE是圓O的直徑．---------------------（2分）
∵∠CBE+∠DBC=90°，∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠BDC=∠CBE．
∵∠CBE=∠CFE，
∴∠CFE=∠BDC，
∴A、D、C、F四點(diǎn)共圓．----------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）連接HI，BF，由（Ⅰ）A、D、C、F四點(diǎn)共圓．得∠ADF=∠ACF=∠FBC，
∵AC是圓O的切線，
∴∠ACF=∠CEF，
∵HI∥DE，
∴∠CEF=∠HIF=∠HCF，
∴H、C、I、F四點(diǎn)共圓．-----------------------------------------------------------（3分）
∴∠HDC=∠FHI=∠FCI=∠ABF，
∴∠ADC=∠DBC=∠CBE，
又BC⊥DE，
∴△BED為等腰直角三角形．--------------------------------------------------------（5分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的證明與性質(zhì)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．