Question

9．橢圓的一個焦點將長軸分成8和2兩部分，求橢圓的標準方程和離心率．

Answer 1

分析 設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得a+c=8，a-c=2，解方程可得a，c，b，由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得a+c=8，a-c=2，
解得a=5，c=3，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1或$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓a，b，c，e的求法，以及運算能力，屬于基礎題．