Question

4．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，對于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x-y）+2f（y）cosx，且f（1）=1，則f（2016π）=0．

Answer 1

分析 利用賦值法判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，將條件進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：令x=y=0得f（0）=f（0）+2f（0）cos0，即f（0）=0，
令x=0，則f（y）=f（-y）+2f（y）cos0=f（-y）+2f（y），
即f（-y）=-f（y），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，令x=$\frac{π}{2}$，
得f（$\frac{π}{2}$+y）=f（$\frac{π}{2}$-y）+2f（y）cos$\frac{π}{2}$=f（$\frac{π}{2}$-y），
則f（$\frac{π}{2}$+y）=f（$\frac{π}{2}$-y）=-f（y-$\frac{π}{2}$）．
即f（y+π）=-f（y），
即f（y+2π）=-f（y+π）=f（y），
即函數(shù)f（x）的周期是2π，
則f（2016π）=f（0）=0，
故答案為：0．

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)圖象函數(shù)關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性和周期性是解決本題的關(guān)鍵．