Question

（本小題滿分13分）已知曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)

（Ⅰ）當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓；

（Ⅱ）若曲線C與直線 交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求m的值．

Answer 1

（Ⅰ）m＜5；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)曲線方程滿足圓的條件求出m的范圍即可；

（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由題意OM⊥ON，得到，利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，聯(lián)立直線與圓方程組成方程組，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，得到根的判別式大于0，求出m的范圍，利用韋達(dá)定理求出y1+y2與y1y2，由點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）在直線x+2y﹣3=0上，表示出x1與x2，代入得出的關(guān)系式中，整理即可確定m的值．

試題解析：

【解析】
（Ⅰ）由題意可知：D2+E2﹣4F=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m=20﹣4m＞0，

解得：m＜5；

（Ⅱ）設(shè)，

由題意OM⊥ON，得到，即: ①，

聯(lián)立直線方程和圓的方程： ，

消去x得到關(guān)于y的一元二次方程：，

∵直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△=b2﹣4ac=122﹣4×5×m＞0，即m+3＜，即m＜，

又由（Ⅰ）m＜5，∴m＜，

由韋達(dá)定理： ， ②，

又點(diǎn)在直線上，

∴，

代入①式得： ，即，

將②式代入上式得到：3+m﹣+9=0，

解得：m=＜，

則m=．

考點(diǎn)：①直線與圓的位置關(guān)系；②根的判別式；③直線與圓的交點(diǎn)；④韋達(dá)定理；⑤平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.