Question

（07年浙江卷理）（14分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn)．

（I）求證：；

（II）求與平面所成的角．

Answer 1

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．

解析：方法一：

（I）證明：因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090330/20090330092911001.gif' width=65>，是的中點(diǎn)，

所以．

又平面，

所以．

（II）過(guò)點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，．是直線和平面所成的角．

因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090330/20090330092913008.gif' width=47>平面，

所以，

又因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090330/20090330092921020.gif' width=45>平面，

所以，

則平面，因此．

設(shè)，，

在直角梯形中，

，是的中點(diǎn)，

所以，，，

得是直角三角形，其中，

所以．

在中，，

所以，

故與平面所成的角是．

方法二：

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的

直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，

．，．

（I）證明：因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090330/20090330092922053.gif' width=124>，，

所以，

故．

（II）設(shè)向量與平面垂直，則，，

即，．

因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090330/20090330092922062.gif' width=104>，，

所以，，

即，

，

直線與平面所成的角是與夾角的余角，

所以，

因此直線與平面所成的角是．